Kumpulan Soal-Soal Matematika+Pembahsan

SOAL-SOAL BERIKUT ADALAH  HASIL KARYA SAYA

                   

SOAL-SOAL ISIAN :
1) ) diketahui :
x²+16=y³+6x-z³
y²+3=z³+6y-x³
z²+8=x³+6z-y³
brapakah nilai dari x.y.z ?

jwb :
jmlahkan smua persamaan didpt :
x²+y²+z²+27=6x+6y+6z
(x²-6x+9)+(y²-6y+9)+(z²-6z+9)=0
(x-3)²+(y-3)²+(z-3)²=0

tdk mngkin bntuk kuadrat brnilai negatif. maka yg memenuhi :

(x-3)²=0
x=3
y=3
z=3

shngga x.y.z=3x3x3=27                            

2) . jk bilangan genap dikelompokka sprti brikut :
(2), (4,6), (8,10,12,14), (16,18,20,22,24,26,28,30),
..........
Brapakah jumlah bilangan genap pd kelompok ke-9 ?

jwb :

bnyak suku tiap klompok :
1, 2, 4, 8,....

bnyk suku klompk 9 = 1.2^(9-1)=2^8=256 suku.

Banyak suku dr klompok 1 sd 8
adalh :

S8=1(2^8 -1)/2-1=255 suku.
U255=2+(255-1)2=510

brarti suku prtama di klompok 9 adlah 512

shngga :
S256=256/2(2.512+(256-1)2)=196352
3)    banyak'nya bilangan positif diantara 310 dan 2600 yg Mrupakan klipatan 3 atau 7 tetapi tidak kduanya...?

jwb :

Gunakan prinsip inklusi-ekslusi

-Bil dgn klipatan 3, (312-2598)

Un=a+(n-1)b
2598=312+(n-1)3
n=763

-Bil dgn klipatan 7 (315-2597)

2597=315+(n-1)7
n=327

-Bil dgn klipata 3 dan 7, atw 21 (315-2583)

2583=315+(n-1)21
n=109

maka banyak'x bilangan diantara 310 dan 2600 yg klipatan 3, atw 7 tapi tidak kdua'nya adalah 763+327-109=1011

SOAL-SOAL CERITA :
1) Bu siti mendayuh speda 4kali lbih lambat dari bu murni. jk bu siti lebih cpat mmasak sarapan pagi pd pukul 6.15 wib. dan langsung kwar rumah utk olahraga mndayuh speda. Smntara bu murni slesai memasak pd pukul 6.30 wib. dan scpat'x mngejar bu siti. pd pukul brapakah bu murni tepat mnyusul bu siti?

jwb :

jarak tempuh sama.
Vs.t=Vm.t

bu siti sampai diposisi brtemu pd waktu t menit disusul bu murni stelah 15 menit brlalu. arti'x bu murni butuh waktu (t-15)menit utk dpt menyusul.

Vs.t=4.Vs(t-15)
t=4t-60
t=20 menit.

Maka pd pukul 6.15+0.20=6.35 wib.mereka brtemu.






SOAL-SOAL PEMBUKTIAN :
1) x, y, dan z adlah bilangan berbeda dan tidak samadengan 0.
jika :
(x²yz+xy²z+xyz²)/[(xz²)+(x
y)²+(yz)²]=-1
Buktikan bahwa
z(x+y)/x +x(y+z)/y +y(x+z)/z=0
Jwb :
(x²yz+xy²z+xyz²)/[(xz)²+(xy)²+(yz)²]=-1

xyz(x+y+z)=-[(xz)²+(xy)²+(yz)²]

-(x+y+z)=[(xz)²+(xy)²+(yz)²]/xyz

-(x+y+z)=xz/y +xy/z +yz/x

x +xz/y +y +xy/z +z +yz/x=0

(xy+xz)/y + (xy+zy)/z +(xz+yz)/x=0
z(x+y)/x +x(y+z)/y +y(x+z)/z=0
TERBUKTI
2) Jika x²=(3x+V100)/V3
buktikanlah bahwa 3x^2003 -9x^2001 -60x^2000 -100x^1999=0.

Jwab :

rasionalkan, x²=(3x+√100)/√3  x  √3/√3
x²=(3√3.x+√300)/3
3x²=(3√3 .x+√300)

kuadratkan kdua ruas,

9x^4=27x²+180x+300
3x^4-9x²-60x-100=0

kalikan kdua ruas dgn x^1999 maka Terbukti :

3x^2003-9x^2001-60x^2000-100x^1999=0

Keterbagian Bilangan Bulat

a. Suatu bilangan habis dibagi 2^n apabila n digit terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n
Contoh :
134576 habis dibagi 8 = 2^3, sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72)

4971328 habis dibagi 16 = 2^4 sebab 1328 habis dibagi 16

b. Suatu bilangan habis dibagi 5 apabila digit terakhir dari bilangan tersebut adalah 0 atau 5

Contoh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 3.

Contoh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 apabila jumlah digit bilangan tersebut habis dibagi 9.

Contoh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.

e. Suatu bilangan habis dibagi 11 apabila selisih antara jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi ganjil dengan jumlah digit dari bilangan tersebut pada posisi genap habis dibagi 11.

Contoh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) - (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11.
Contoh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.

f. Jika suatu bilangan habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka bilangan tersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b relatif prima.
Berlaku sebaliknya.
Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

g. Misalkan N jika dibagi p akan bersisa r.
Dalam bentuk persamaan N = pq + r dengan p menyatakan pembagi, q menyatakan hasil bagi dan r menyatakan sisa.
Persamaan di atas sering pula ditulis N=r (mod p)

h. Kuadrat suatu bilangan bulat bulat, habis dibagi 4 atau bersisa 1 jika dibagi 4.
maka suatu bilangan bulat yang bersisa 2 atau 3 jika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadrat.

i. Angka satuan dari bilangan kuadrat adalah 0, 1, 4, 5, 6, 9.

j. Bilangan pangkat tiga (kubik) jika dibagi 7 akan bersisa 0, 1 atau 6.

k. Dua bilangan dikatakan prima relatif, jika faktor persekutuan terbesarnya (FPB) sama dengan 1.

Contoh : 26 dan 47 adalah prima relatif sebab FPB 26 dan 47 ditulis FPB(26,47) = 1
Indonesia Mathematic Club(IMC)